1 线性变换及其运算
线性变换就是对线性运算（加法、数乘）封闭的 $V \rightarrow V$ 变换。
1.1 基本概念
- 变换（算子）、象、原象，线性变换，旋转、微分、积分都是线性变换；
- 值域 $R(T)$、核 $N(T)$，$\text{dim} R(T) + \text{dim} N(T) = n$，象子空间、核子空间，秩、亏（零度），值域等价于基的象构成的子空间；
- 单位变换、零变换，变换的加法、数乘、负变换、乘法、逆变换、可逆，变换的幂与多项式、多项式乘法可交换。
1.2 理解
- 变换的亏可以理解为因变换而损失的空间维度数。
1.3 计算
- 变换的秩与亏的计算：
（1）秩：取基 $\mathbf{x}_1, \cdots, \mathbf{x}_n$ 并计算 $T(\mathbf{x}_1),\cdots,T(\mathbf{x}_n)$ 的维度；
（2）亏：列方程 T(x)=0 计算解空间的维度。
2 线性变换的矩阵表示
通过坐标可以把线性变换用矩阵表示出来 —— 用基的变换结果线性表示其他向量的变换结果。
2.1 基本概念
- 矩阵表示：对基变换并用基表示的系数矩阵、按列排、唯一，数乘变换、数量矩阵；
- 维度关系：$\text{dim} R(T) = \text{dim} R(A),\ \text{dim} N(T) = \text{dim} N(A),\ \text{dim} R(T) + \text{dim} N(T) = n$；
- 加乘公式：$T_1 + T_2, kT_1, T_1 T_2, T^{-1}$ 的矩阵表示分别为 $A+B, kA, AB, A^{-1}$，此外有 $T(XY) = T(X)Y $；
- 变换后的坐标：x 在基下的坐标为 $\xi$，则 Tx 在基下的坐标为 $\eta = A\xi$，自己证明；
- 矩阵相似：线性变换在不同基下的矩阵是相似的，T 在基 X 和 Y 下的矩阵为 A 和 B，Y = XC，则 $B = C^{-1} A C$，反身性、对称性、传递性，$f(B) = P^{-1} A P$，相似类。
理解
- 为什么 $T_1 T_2$ 的矩阵是 $AB$ 不是 $BA$？因为 $T_1 T_2 \alpha$ 中，$T_2$ 变换 $\alpha$ 而 $T_1$ 变换基，自然 $T_1$ 离基更近。或者把系数表示展开看看，很容易得出结论。
计算
- 线性变换的矩阵表示：取空间 V 的一组基，用 T 变换各个基，并将变换结果也用这组基来表示，系数矩阵（的转置）即是 A。
3 特征值与特征向量
3.1 基本概念
- 特征向量：特征值、特征向量，$Tx = \lambda_0 x$ 则坐标 $A\xi = \lambda_0 \xi$，特征矩阵、特征多项式、属于某特征值的特征向量、特征子空间及其维度，变换的特征值/向量即是对应矩阵的特征值/向量；
- 迹：$\sum_i \lambda_i = \sum_i a_ii = \text{tr}(A),\ \lambda_0\cdots\lambda_n = \text{det}A $，迹（追迹），$\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$，相似矩阵同迹、同特征多项式、同特征值；
- Hamilton-Cayley 定理：Sylvester 定理（$A\in \mathbb{R}^{m\times n},\ B\in \mathbb{R}^{n\times m}$，AB 与 BA 特征多项式比值为 $\frac{\lambda^m}{\lambda^n}$），任意 n 阶矩阵与三角矩阵相似（数学归纳法）；
3.2 理解
- 线性变换后方位不变的向量称为特征向量；线性变换后长度不变，则变换对应的矩阵称为正交矩阵。
- 因为特征多项式 $\phi(\lambda) = \text{det}(\lambda I - A) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)\cdots(\lambda - \lambda_n) $，所以 $\sum_i \lambda_i = \text{tr}(A)$, $\lambda_0\cdots\lambda_n = \text{det}A $。
3.3 计算
- 特征值与特征向量计算步骤：
（1）$T\rightarrow A$：确定线性空间 $V^n$ 的一组基，写出变换 T 的矩阵 A；
（2）$A \rightarrow \phi (\lambda)$：求出 A 的特征多项式 $\phi(\lambda)$ 的全部根，对应 T 的全部特征值；
（3）解方程：把特征值带入，求得对应每个（可能是多重）特征值的 A 的特征向量；
（4）坐标$\rightarrow$向量：以 A 的特征值为坐标，带入基计算得 T 的特征向量。
4 数学技巧简记
- 证明两个集合相等，只需证明二者互相包含即可