线性空间
线性空间是定义在数域 K 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲集合，再讲数域，最后讲线性空间。
相关概念：
- 集合：两种表示方式（列举、性质），并集、交集、和集（元素和的可能值集合）；
- 数域：一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中，称为数域，如有理数域、复数域、实数域；
- 映射：象、原象，到自身的映射（变换），映射的乘积、结合律；
- 线性空间：一个集合，元素满足加法结合律、交换律，数乘（数域 K 上的数）分配率、结合律，存在零元素、负元素，乘 1 不变，称为数域 K 上的线性空间（向量空间），元素称为向量，如实线性空间、复线性空间、矩阵空间；
- 线性空间：线性组合、线性表示、线性相关、最大线性无关组，维数（无关向量组最大个数，dimV=n，\(V^n\)）；
- 基与坐标：基（基底）、基向量、坐标（分量）；
- 基与坐标变换：旧基 X 到新基 Y 过渡矩阵 C，基变换公式 Y = XC，坐标变换公式 \(\eta = C^{-1}\xi\)，中介基方法；
- 线性子空间：线性空间 V 的非空子集 \(V_1\)，满足对加法和数乘封闭；\(\text{dim}V_1 \leq \text{dim}V\)；由 V 上的向量生成的子空间记为 \(L(\mathbf{x}_1, \cdots, \mathbf{x}_m) = \lbrace k_1\mathbf{x}_1 + \cdots + k_m\mathbf{x}_m \rbrace \)；零子空间记为 \(L(\mathbf{0})\)；
- 矩阵的值域：矩阵 \(A\in \mathbb{R}^{m \times n}\) 的值域是其所有列向量构成的子空间，记为：
$$R(A) = L(\mathbf{a}_1, \cdots, \mathbf{a}_n) = \lbrace A\mathbf{x} \ |\ \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n \rbrace$$ - 矩阵的核空间：矩阵 \(A\in \mathbb{R}^{m \times n}\) 的核空间定义为 \(N(A) = \lbrace \mathbf{x} \ | \ A\mathbf{x} = \mathbf{0} \rbrace\)，即齐次方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的解空间；\(N(A)\) 的维度（即解空间的维度）称为零度，记为 \(n(A) = \text{dim}N(A)\)；
- 维度与秩：根据“齐次解空间维度+矩阵秩=n”可推：
$$
\begin{equation}\begin{split}
&\text{rank}A + n(A) =\ n \\
&\text{rank}A^T + n(A^T) =\ m \\
&n(A) - n(A^T) =\ n - m
\end{split}\end{equation}
$$ - 扩充定理：子空间的基必可扩充为原空间的基，即必可找到 n-m 个向量使之补充为原空间的基（用归纳法证）；
- 子空间的交与和（不是并）：子空间的交、和、直和（若和的向量有唯一表示，称和为直和）；维数公式：\(\text{dim}V_1 + \text{dim}V_2 = \text{dim}(V_1 + V_2) + \text{dim}(V_1 \cap V_2)\)；直和的基为两个子空间基的组合；直和的充要条件（任一）：
（1）\(V_1 \cap V_2 = L(\mathbf{0})\)
（2）\(\text{dim}(V_1 + V_2) = \text{dim}V_1 + \text{dim}V_2\)
理解
- 线性空间与三维空间类似，就是一个空间，是无穷多个点的集合。在空间中可以定义长度、角度，可以容纳运动（缩放、平移、旋转等），可以通过某个参考系来定义位置坐标。而以上线性空间、基底、坐标的定义只是这个空间概念的数学语言表达。
- 线性空间不仅仅局限于多维向量。例如多项式空间 \(P_n\) 也是一个线性空间，维度为 n+1 维，其中任一元素可以由 n+1 个基向量 \(1, x, \cdots, x^n\) 线性表示。
- 线性空间就是对线性运算封闭的元素集合。
- 把矩阵看成映射的话，矩阵的值域就是指其所有可能映射到的向量值构成的集合；
- 子空间的和就是两个子空间所有元素可能的线性组合构成的线性空间，直和即两空间没有重复（或冗余）维度；
- 维数公式的理解：两空间分别的维度之和，减去冗余部分（即二者都包含的向量组成空间的维度），自然就是二者和空间的维度。
计算
- 过渡矩阵求法：
（1）观察法，找到新基用旧基表示的方式，整理成矩阵；
（2）中介基法，用十分容易表达两种基的简单基作为中介基，最终过渡矩阵用两个过渡矩阵表达（\(C=C_1^{-1}C_2\)）； - 逆矩阵求法：
（1）伴随阵除以行列式；
（2）\((A|E)\) 初等行变换为 \((E|A^{-1})\)；
（3）根据定义（AB = E）；
（4）分块公式；
数学技巧简记
- 数学证明方法：直接证明；归纳法；反证法，一定要遍历所有可能情况。