1 行列式
1.1 相关概念
- 逆序，逆序数，偶排列，奇排列；
- 性质：行列对等、交换行反号、行乘 k 提出、元素和可以展开、某行加上 k 倍另一行值不变；
- 余子式、代数余子式、按行/列展开公式、另一行乘余子式为零、拉普拉斯展开式、范德蒙展开式；
- 性质：乘法公式（及平方公式）、伴随阵、逆矩阵行列式、行列式与特征值的关系、相似矩阵行列式。
1.2 理解
行列式的含义可以理解为：
矩阵的所有列向量在 n 维空间张成的立体（2n 面体）的体积；
例如，3x3 矩阵各列表示一个三维点，三个点可张成一个长方体，行列式的值即是该长方体的体积。所以才会有如下性质：
（1）当两列成比例时，行列式值为零；因为三点共面，体积为零；
（2）某列乘以常数 k，则行列式扩大 k 倍；因为沿某条变扩大 k 倍，体积自然扩大 k 倍；
（3）某列的每个元素是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和；亦即长方体可拆成两部分；
（4）某列加上 k 倍的另一列，值不变；因为张成的立方体形状不变。矩阵对应的线性变换对空间拉伸程度的度量，即 n 维空间的物体经过变换前后的体积比。
所以才会有如下性质：
（1）乘法公式：\( | A B | = |A| |B| \)，因为拉伸程度为两次拉伸之积；
（2）逆矩阵公式：\( | A^{-1} | = | A |^{-1} \)，因为逆拉伸程度自然是拉伸的倒数；
（3）特征值公式：\( | A | = \prod_{i=1}^n \lambda_i \)，因为拉伸值为各个基上的拉伸值之积。
1.3 计算
- 直接根据定义计算：不同行且不同列上元素乘积的代数和，即 \(A_n^n\) 项的代数和，右下斜线方向为正，左下斜线方向为负；
- 根据余子式展开计算：在某行或某列用余子式展开式计算行列式的值；
- 计算技巧：
(a) 数字行列式：主要是根据行列式的性质对行列式化简
（1）把某行/列的 k 倍加到其余行消除元素产生零或三角阵，再用余子式展开公式计算
（2）逐行/列相加化简
（3）数学归纳法
（4）公式法：记住拉普拉斯和范德蒙展开式
(b) 抽象行列式：主要是根据逆矩阵、矩阵乘积、转置、伴随、特征值等与行列式的关系来计算
证明零矩阵时，反证法要想得到。
2 矩阵
2.1 理解
可以从四个角度理解矩阵的意义：
矩阵是数据（向量）的组合（数据）
矩阵可以看成是行/列向量组，每个向量代表一个高维空间的数据点。矩阵的秩可理解为向量组的真实维度。矩阵是一种坐标变换（函数）
将向量从一个空间变换到另一个空间，或者从一组基上的坐标变换到另一组基上的坐标。矩阵可逆则代表变换也是可逆的，即所有经过映射的数据可以经由另一个矩阵无损地映射回来。因此可逆的充要条件是矩阵满秩，即它并未压缩空间。矩阵是一组基（字典）
矩阵是坐标的集合（坐标）
2.1 主要相关概念
基本运算；可逆，求逆；秩；初等变换与初等矩阵；分块。
- 逆：可逆充要条件、伴随阵、求法（伴随阵除以行列式、(A|E) 初等变换、定义、分块公式）
- 初等阵：三种初等变换、等价于左右乘初等阵、等价矩阵、等价标准形、可逆矩阵等价于单位阵
- 秩：定义（根据子式）、矩阵和、积秩的不等式、分块公式
伴随阵的秩只能取 n, 1, 0 三种（自己验证）。